Ueber die Geometrieen, in denen die Graden die Kürzesten sind

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Dieterich'schen Universitäts-Buch-Druckerei, 1901 - 90 pàgines
 

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Pàgina 6 - ... gehen diese Untersuchungen nur so weit, daß die Bedingungen dafür angegeben werden, wann jede der Differentialgleichungen von der Form einer Lagrangeschen Gleichung ist; ob sich ein System durch geeignete Kombination der einzelnen Gleichungen auf diese Form bringen läßt, wird nicht erörtert. Auch ist die Frage in keinem Falle über das rein Formale hinaus verfolgt worden; andere Bedingungen der Variationsrechnung als die Lagrangeschen sind nie erörtert worden. Es soll nun gerade hier in...
Pàgina 23 - Monodroniieaxioms darauf hinausläuft, daß die Aichkurve eine zum Anfangspunkt symmetrische Kurve sein muß. II) Herr Hubert hat in einem an Herrn Klein gerichteten Briefe (siehe Einleitung) eine Geometrie aufgestellt, in der ebenfalls die Gerade Kürzeste ist. Betrachten wir in der xy- Ebene eine konvexe, geschlossene Kurve und definieren für das Innere derselben die Entfernung zweier Punkte durch den Logarithmus des Doppelverhältnisses, das diese beiden Punkte mit den Schnittpunkten der durch...
Pàgina 52 - Da aber, wie wir schon früher sahen "* rl + r" bis auf einen positiven Faktor gleich der Krümmung der Kurve ist, so sagt w > 0 aus, daß die Kurve stets konvex ist. Damit haben wir das Resultat: Man erhält die allgemeinste ebene Geometrie, in...
Pàgina 54 - Dimension ist. Für andere Kurven definieren wir dann die Länge eines Abschnittes durch obiges Integral, das wir längs der betreffenden Kurve erstrecken. 4) Die Archimedische Forderung, daß die Gerade die kürzeste Verbindung zwischen zwei gegebenen Punkten sein soll, zerfällt wieder in zwei andere...
Pàgina 53 - Monodromieaiiom erfüllt werden durch passende Wahl von u, das dann ebenfalls völlig bestimmt ist*). Ist die Kurve nach einem Umlaufe geschlossen, so ist das schwache Monodromieaxiom erfüllt, wie sonst auch u — aber in Übereinstimmung mit dem oben Gesagten — gewählt werden mag. Diese, die Geometrie also wesentlich bestimmenden Kurven mögen „Aichkurven
Pàgina 86 - Ungleichheitsbedingungen (III), (§ 8) nichts anderes aus, als daß die so konstruierte Fläche überall gegen den festen Punkt x, y, z konkav ist. Aus der Geometrie selber kann man sich die Fläche in folgender Weise entstanden denken: Konstruieren wir die Fläche, die in der betreffenden Geometrie von dem gewählten Punkte x, y, z einen bestimmten konstanten Abstand a < l hat, vergrößern sie aber im Sinne der Namengebung dadurch, daß wir jeden Radiusvektor durch a dividieren.
Pàgina 85 - W weist zunächst darauf hin, daß wir g im wesentlichen überall kennen, wenn es auf der yz -Ebene allein gegeben ist für jeden Punkt in allen Richtungen. Das im vorigen Paragraphen genannte Existenztheorem sagt dann. — allerdings einstweilen nur unter Beschränkung auf den analytischen Charakter gewisser Funktionen — aus, daß es hinreicht, g allein zu kennen für die...
Pàgina 85 - Nachdem wir in den §§ 8 — 11 die analytischen Bedingungen formuliert haben, die das Längenelement dl auf Grund unserer Axiome erfüllen muß, soll jetzt eine geometrisch anschauliche Erläuterung derselben folgen. Die eigentümliche Form von U, V, W weist zunächst darauf hin...
Pàgina 53 - Vdx/*=0 \0bJmmt l -»o wobei b der Parameter ist, der den Punkt auf der Geraden markiert, und u(x, b) noch in mannigfacher Weise gewählt werden kann, nur so, daß...
Pàgina 14 - W(p, y -px) dpdp + p- v(x, y) + w(x, y), c ist eine beliebige Konstante. Setzt man dies Resultat in die Differentialgleichung für g ein, so erhält man durch leichte Rechnung c und

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