de la courbe mobile dont nous cherchons le lieu, on aura, en outre, les deux équations diamétrales :

On obtient ainsi en tout six équations distinctes, dont cinq quelconques serviront à déterminer les arbitraires B, C, D, E, F; et, en substituant leurs valeurs dans la sixième, on aura l'équation du lieu, laquelle est :

2aa'y} — 2bb'x} — aa' (b + b') y1 + bb'(a + a')x1 = 0 (*). On voit que ce lieu passe par l'origine; c'est une hyperbole lorsque aa', bb' sont à la fois de même signe ou de signes contraires, puisque alors le binôme B2-4AC-16 aa'bb' est toujours positif.

Si l'un quelconque des quatre points donnés A, B, C, D, se trouve d'un côté de l'origine et les trois autres de l'autre côté, la courbe est une ellipse; c'est, au contraire, une hyperbole, si les quatre points se trouvent d'un même côté de l'origine, ou bien, si deux points quelconques sont situés d'un côté de l'origine, et les deux autres de l'autre côté.

En transportant les axes coordonnés parallèlement à eux-mêmes, et en plaçant l'origine au centre C' de l'hyperbole ou de l'ellipse, on obtient pour l'équation du lieu :

208. II. Trouver le lieu décrit par le centre d'une

(*) Il serait plus simple de prendre pour l'équation des courbes du 2e degré passant par les quatre points donnés A, B, C, D l'équation

Voir notations abrégées (315), K étant une arbitraire.

courbe variable du second degré passant par les quatre points d'intersection de deux coniques données.

Soient : Ay2+ Bxy + Cx2 + Dy + Ex + F = 0,

A'y2+B'xy + C'x2 + D'y + E'x + F' = 0,

les deux coniques données.

Les points d'intersection réels ou imaginaires de ces deux courbes sont donnés par l'équation

Ay2+ Bxy + Cx2 + Dy + Ex + F

K (A'y2 + B'xy + C'x2 + D'y + E'x + F') = 0,

dans laquelle K représente une quantité indéterminée. Mais la courbe du second degré qui passe par quatre points donnés et connus ne peut plus contenir dans son équation qu'un paramètre arbitraire K; donc, cette équation est la courbe variable dont le centre doit décrire le lieu que nous cherchons. Pour obtenir ce lieu, il suffit d'éliminer K entre les deux équations diamétrales :

2Ay, + Bx ̧ + D — K(2A'y, + B'x, + D') = 0,

2Cx1 + By1 + E — K(2C'x, + B'y1 + E') = 0,

x, y, représentant les coordonnées du centre mobile; ce qui donne :

Si les deux coniques données sont concentriques, on peut faire disparaitre les termes du premier degré en x et en y des deux équations; alors, le lieu se réduit à :

et ne change pas si les quantités A, B, C sont proportion

nelles à A', B', C', c'est-à-dire, si les deux coniques sont semblables.

209. III. Trouver le lieu du centre d'une hyperbole équilatère circonscrite à un triangle donné.

210. On nomme foyers ou points rationnels d'une courbe des points situés dans le plan de cette courbe et tels que leur distance à un point quelconque de celle-ci est une fonction rationnelle du premier degré des coordonnées de ce point.

On peut, de même, nommer circonférences focales des circonférences telles que la distance MT d'un point quelconque M de la courbe au point de contact T de la tangente menée de ce point à cette circonférence est une fonction rationnelle du premier degré du point de la courbe.

Les axes coordonnés étant rectangulaires, l'équation de la circonférence de cercle de rayon Rest:

(x — a)2 + (y — ß)2 — R3,

a, ẞ étant les coordonnées du centre de cette circonférence.

・ (x — a)2 + (y — §)2 — R2 — 0

rapportée à son axe de symétrie, pris pour axe des x, l'origine étant au sommet.

On aura:

。1o = (x — x )2 + (y — f)2 — R3,

=x x2 · 2ax + a2 + y2 — 2ẞy + p2 — R2.

Remplaçant y2 et y par leurs valeurs tirées de l'équation de la courbe, il vient :

¿2 = (1 + q) x2 + 2(p — «) x — 2ßNo 2px + qx2 + x2 + ß2— R3.

ne peut être rationnel que si ẞ ß

=

0.

Ainsi, le centre de ce cercle doit se trouver sur l'axe de symétrie des courbes du 2me degré.

ou

La valeur de 2 se réduit alors à

¿13 = (1 + q) x2 + 2 (p − a) x + a2 — R2.

Ce trinôme du 2me degré est un carré parfait si l'on a

traires a et R, et il est facile de voir que, pour une valeur réelle de R, il y aura deux valeurs réelles de a. Il y a donc une infinité de cercles de rayons variables dont les centres sont situés sur l'axe de symétrie de ces courbes qui satisfont à la question.

211. Parmi tous les systèmes de valeurs de a et de R qui satisfont à l'équation précédente, il en est un premier fort remarquable que l'on obtient en égalant séparément à zéro

d'où

p2 - 2pa — qa2=0 et R*(1+ q) = 0;

Cette valeur de a est l'abscisse du foyer dans les courbes du 2me degré.

Ainsi, les foyers des coniques sont des cercles de rayon infiniment petit situés sur l'axe de symétrie de ces courbes. A l'inspection de l'équation

qa2 + 2px — p2 = 0,

on voit que les ellipses et les hyperboles ont chacune deux foyers distincts situés à des distances égales CF, CF' (fig. 103) du centre, et que la parabole n'en possède qu'un seul, le second étant situé à l'infini.

En substituant cette valeur de a, que nous représenterons par f, dans l'expression de d, on aura pour le rayon vecteur en général :

FM = x√1 + q + f.

212. Le second système de valeurs de a et de R qui satisfont à l'équation (k) est celui où Ra et a=p, c'està-dire la grandeur du demi-paramètre de la conique. Le cercle est donc complétement déterminé, puisque l'on a : B=0,a=p et_R=a=p.