TIONIS, & parabolicæ lineæ portionibus fimilibus AKB, quæ parabole per DE CENTRO verticem a tranfeunt, axemque habent G E, A dividentem bifariam OSCILLA latus transversum A F, ac parallelum bafi в B. Et hujus quidem figuræ в K A K B, centrum gravitatis L, tantum distat å vertice A, quantum centrum gravitatis conoidis A B B; eftque axis A D ad AL, ficut tripla F A cum dupla A D, ad duplam F A cum sesquialtera A D. Deinde & diftantia centri gr. figuræ dimidiæ A D B K, ab AD, inveniri poteft, atque etiam fubcentrica cunei fuper figura BK A KB, abscissi plano per A P, parallelam B B ; hujus inquam cunei fubcentrica, fuper ipsa A P, inveniri quoque poteft; atque ex his confequenter centrum agitationis conoidis, in quavis fufpenfione; dummodo axis, circa quem movetur, fit bafi conoidis parallelus. Atque invenio quidem, fi axis A D lateri transverso À F æqualis ponatur, fpatium applicandum æquari – quadrati a D, cum quadrati D B. Tunc autem a L est — A D. 31 200 10 20 27 31 Vnde, fi conoides hujufmodi ex vertice a suspendatur, invenitur longitudo penduli ifochroni,A s,æqualis AD, cum proportionalis duabus a D, D B. 35 Centrum ofcillationis dimidii Coni. tertiæ 140 Denique & in folidis dimidiatis quibusdam, quæ fiunt sectione per axem, centrum agitationis invenire licebit. Vt fi fit conus dimidiatus A B C, verticem habens A, diametrum femicirculi ba OSCILLA TIONIS, DE CENTRO feos BC: ejus quidem centrum gravitatis D notum eft, quoniam A D funt recta A E, ita dividentis B C in E, ut, ficut quadrans circumferentiæ circuli ad radium, ita fint C Bad в E. Tunc enim E eft centrum gravitatis femicirculi baseos, ideoque in a E centra gravitatis omnium fegmentorum femiconi A B D, bafi parallelorum. Et figura quidem porro proportionalis à latere ponenda, o vv, eadem eft quæ in cono toto fupra defcripta fuit: per quam nempe invenietur fumma quadratorum, à diftantiis particularum semiconi à plano horizontali N D, per centrum gravitatis ducto. Verum quadrata diftantiarum, à plano verticali M DO, ut colligantur, altera quoque figura proportionalis s yz, ficut fupra prop. 14. hibenda eft, cujus nempe fectiones verticales, exhibeant lineas proportionales sectionibus sibi respondentibus in semicono A B C. ad & hujus figuræ cognofcenda eft diftantia centri gr. Fab sy, quam æqualem effe conftat diftantiæ D N, centri gr. femiconi à plano trianguli A B. pofitâque HG fubcentricâ cunei abfciffi fuper figura szy, ducto plano per s y, nofcendum eft rectangulum G F H, cujus nempe multiplex, fecundum numerum particularum femiconi A BC, æquabitur quadratis diftantiarum femiconi in planum M DO. Licebit vero cognofcere rectangulum illud G F H, etiamsi fubcentrica H G longitudo ignoretur, hoc modo. Diximus fupra, cum de cono ageremus, quadrata diftantiarum à plano 20 3 20 20 ४० OSCILLA à plano per axem ejus, æquari - quadrati à diametro basis, five DE CENTRO quadrati à femidiametro,multiplicis per numerum particularum TIONIS. coni totius. Vnde & hic, in femicono A B C, quadrata diftantiarum à plano A в æqualia erunt quadrati B C, multiplicis per numerum particularum ipfius femiconi. Sed & rectangulum H G F, mul tiplex per numerum particularum femiconi A B C, æquatur quadratis diftantiarum à plano A в, ut patet ex propofitione 9. Ergo rectangulum H G F æquale quadrati в C. Ponendo autem A B a; BC > b; & quadrantem circumferentiæ, radio в c defcriptæ, q; fit EB. Cujus cum N D tribus quartis æquetur, fiet proinde N D, five GF » 1 Cujus quadratum auferendo à rectangulo HG F, quod erat : quadrati в C, fiet rectangulum G F H »bb 14. Hoc autem rectangulum, multiplex per numerum particularum femiconi A B C, æquatur quadratis distantiarum à plano MDO. At quadratis diftantiarum à plano м D æquantur, ut in cono, quadrati AB, five. a a, multiplices per numerum particularum femiconi A B C. Itaque, totum fpatium applicandum, æquabitur hic ?-a a + . b b - 14. 499 80 266 20 2 20 64 499 20 Vnde quidem centrum agitationis invenitur in omni suspenfione femiconi, dummodo ab axe qui fit parallelus bafi trianguli à fectione A B. Notandum vero, cum figura s z y fit ignotæ prorfus naturæ, fubcentricam tamen G H, cunei fuper ipfa abfciffì plano per s y, hinc inveniri. Nam, quia rectangulum H G F æquale erat 3 bb, five quadrati B C, & G F æqualis, fit inde G H æqualis 3 9. 10 Porro, etiam femicylindri, & femiconoidis parabolici, centra agitationis inveniri poffunt, atque aliorum infuper femifolidorum; quæ aliis inveftiganda relinquimus. Quemadmodum autem in figuris planis, ita & hic in folidis figuris locum habet, quod de obliquarum centris agitationis illic diximus, quæ veluti luxatione rectarum conftituuntur, quarum centra ofcillationis non differunt à centris ofcillationis rectarum. Sic, fi coni duo fuerint A B C, A F G, alter rectus, alter scalenus; quorum & diametri & bases æquales ; hi ex vertice suspenfi, vel à quibufcunque axibus, æqualiter à centris eorum gravitatis diftantibus, ifochroni erunt; dummodo axis, unde conus scalenus fufpenfus eft, rectus fit ad planum trianguli per diametrum,quod planum basi est ad angulos rectos. T DE CENTRO * Prop 6. huj. "in fine PROPOSITIO XXIII. Horologiorum motum temperare, addito pondere exi guo fecundario, quod fuper virga penduli, certa ratione divifa, furfum deorfumque moveri poffit. Vt hoc expediamus, primo penduli ipfius, ex virga gravitate prædita, & appenfo parte ima pondere, compofiti, centrum ofcillationis inveniendum eft. DAD M Sit virga, cum appenfo pondere,a C, cujus longitudo dicatur 4. Intelligantur autem, tum virga ipfa, tum pondus appenfum c, in particulas minimas æquales divifa, earumque particularum virga habeat numerumb, pondus vero c numerum c, ponendo nempe b ad c, ficut gravitas virgæ ad gravitatem appenfi ponderis. Longitudo igitur penduli fimplicis, dato ifochroni, habebitur, fi fumma quadratorum à diftantiis particularum omnium à puncto fufpenfionis a, dividatur per fummam earundem diftantiarum *. Secetur A c bifariam in м; tum vero in т, ut A T fit dupla T c. Quia ergo м eft centrum gravitatis lineæ A C, & A T fubcentrica cunci fuper ipfa abfciffi plano per A D, perpendicularem ad A C; qui cuneus hîc revera triangulum eft, erit fumma quadratorum, à diftantiis particularum virge à puncto a, T 3 OSCILLA- æqualis rectangulo A м T,una cum quadrato A M; hoc eft,rectan- DE CENTRO gulo T AM, multiplici fecundum numerum particularum b; hoc cft,a a b; quia м A efta, & TA a, ac proinde rectangulum T A M »a a. Summa vero quadratorum, à diftantiis particularum ponderis c ab eodem puncto A, æquabitur quadrato A C, multiplici fecundum numerum particularum ipfius ponderis ; hoc eft, a a c. Adeoque fumma quadratorum omnium, tam à diftantiis particularum virga, quam ponderis c, erit a aba a c. 2 Porro, diftantiæ omnes particularum virga A c à puncto A, æquantur ba; longitudini scilicet virgæ ipfius, quæ eft a, multiplici fecundum femiffem numeri particularum quas continet. Et diftantiæ omnes particularum ponderis c,ab eodem puncto a,sunt a c. Ita ut fumma utrarumque diftantiarum fit ab+ a c. Per quam dividendo fummam quadratorum prius inventam,¦¦aab Quæ itaque habebitur, fi fiat, ut dimidia gravitas virgæ, una cum gravitate appenfi ponderis, ad trientem gravitatis virgæ, una cum gravitate ejufdem appenfi ponderis, ita longitudo A c ad aliam. Oportet autem fumere longitudinem A c, à puncto fufpenfionis a ad centrum gravitatis ponderis c; cum magnitudinis ejus ratio hic non habeatur, ac veluti minimum confideretur. E A Quod fi jam, præter pondus c, alterum infuper D virgæ inhærere intelligatur, cujus gravitas, feu particularum numerus fit d: diftantia vero A D fit f. Vt pendulum fimplex huic ita compofito isochronum inveniatur, addenda sunt ad fummam fuperiorem quadratorum, quadrata distantiarum particularum ponderis D à puncto a, quæ quadrata apparet effe dff. Adeo ut fumma omnium jam fit futura aabaac+ffd. Item,ad fummam distantiarum, addendæ diftantiæ particularum ponderis D, quæ faciunt df. Ac fumma proinde distantiarum omnium erit 14 ba+ca+df; per quam dividenda eft ista quadratorum fumma, & fit chroni. a ab → a ac → ff d I a b + a c + f d longitudo penduli ifo Quod fi vero, hæc longitudo penduli ifochroni, datæ æqualis poftuletur, quæ fitp, & reliqua omnia quæ prius data fint, præter |