OSCILLA-
TIONIS.

cepta inter bina quæque plana, in eadem inter fe ratione cum feg- DE CENTRO mentis dictæ magnitudinis,quæ ipfis refpondent; fintque fegmenta fingula figuræ O QP, divifa in tot particulas æquales, quot continentur segmentis ipsis respondentibus in figura A B C D. Hæc autem intelligi poffunt fieri, qualifcunque fucrit magnitudo A B C D, five linea, five fuperficies, five folidum. Semper vero centrum gravitatis figuræ o QP, quod fit T, eadem altitudine effe manifeftum eft cum centro gravitatis magnitudinis A B C D; ideoque,fi planum horizontale, per F ductum, fecet lineam centri figuræ o QP, velut hic in s, æquales effe diftantias ST, FE.

E

1. Eucl.

Porro autem conftat quadrata diftantiarum, ab axe ofcillationis F, applicata ad diftantiam F E, multiplicem fecundum numerum particularum,efficere longitudinem penduli ifochroni *; quæ lon- * Prop. 6. huj. gitudo pofita fuit FG. Illorum vero quadratorum fummam, æqualem effe perfpicuum eft, quadratis diftantiarum à plano horizontali per F, unà cum quadratis diftantiarum à plano verticali F E, per axem F & centrum gravitatis & ducto*. Atqui quadrata distan- * Prop 47. lib. tiarum magnitudinis A B C D à plano horizontali per F, æquantur quadratis diftantiarum figuræ o pab recta s F.Quæ quadrata (si o fit punctum fupremum figuræ o QP, & H centrum gravitatis cunei fuper ipfa abfciffi, plano per rectam o v, parallelam s F) æqualia funt rectangulo o T H & quadrato s T, multiplicibus fecundum numerum particularum dictæ figuræ *, five magnitudinis A B C D. Quadrata vero diftantiarum magnitudinis A B C D à plano F E, quantumcumque axis oscillationis F diftet à centro gravitatis E, femper eadem funt: quæ proinde putemus æquari fpatio z, multiplici fecundum numerum particularum magnitudinis A B C D.

* Prop. 9. huj.

Itaque quoniam quadrata diftantiarum magnitudinis A B C D, ab axe ofcillationis F,æquantur iftis,quadrato nimirum s T, rectangulo OTH, & plano z, multiplicibus per numerum particularum ejusdem magnitudinis; fi applicentur hæc omnia ad diftantiam FE five ST, orietur longitudo F G penduli isochroni magnitudini ABCD*. Sed ex applicatione quadratis Tad latus fuum ST, orie- *Prop. 6. huj. tur ipfa s T, five F E. Ergo reliqua E G eft ea quæ oritur ex applicatione rectanguli o тH, & plani z, ad eandem s T vel F E.

Quare fupereft ut demonftremus rectangulum O T н, cum plano z, æquari plano 1. Tunc enim conftabit, etiam planum 1, applicatum ad diftantiam F E, efficere longitudinem ipfi E G æqualem. Illud autem fic oftendetur. Rectangulum OTH, multiplex fecundum numerum particularum figuræ o QP, five magnitudinis A B

OSCILLA

TIONIS.

KK,

*

DE CENTRO CD, æquatur quadratis distantiarum figuræ ab recta x T Τ quæ per centrum gravitatis T ducitur ipfi s F parallela; ac proinde etiam *Prop. 1o.huj. quadratis distantiarum magnitudinis A B C D, à plano horizontali ducto per centrum gravitatis E; cum diftantiæ utrobique fint eædem. At vero planum z, fimiliter multiplex, æquale pofitum fuit quadratis distantiarum magnitudinis A B C D à plano verticali FE. Ac patet quidem quadrata hæc diftantiarum à plano F E, una cum dictis quadratis diftantiarum à plano horizontali per E, æqualia esse quadratis distantiarum ab axe gravitatis per E, qui sit axi F *Prop. 47.lib. parallelus*. Itaque rectangulum OTH una cum plano z, multiplicia fecundum numerum particularum magnitudinis A B C D, æqualia erunt quadratis distantiarum ejufdem magnitudinis à dito axe per E. Sed & planum 1, multiplex fecundum eundem particularum numerum, æquale pofitum fuit iifdem diftantiarum quadratis. Ergo planum i æquale eft rectangulo OT H & plano z fimul fumptis. quod oftendendum fupererat.

I. Eucl.

Hinc rursus manifeftum fit, quod propofitione 16 demonstratum fuit; nempe magnitudinem quamlibet, fi aliter atque aliter fufpendatur atque agitetur, ab axibus parallelis, qui à centro gra vitatis fuæ æqualiter diftent, fibi ipfi ifochronam effe.

quæ

Sive enim magnitudo A B C D fufpendatur ab axe F, five ab axe Lilli parallelo; patet eadem utrobique esse quadrata distantiarum ab axe per E, qui fit axibus F vel 1 parallelus. Vnde & planum 1, cujus multiplex, fecundum numerum particularum, æquatur quadratorum fummæ, utroque cafu idem erit. Hoc vero planum, applicatum ad diftantiam centri gravitatis ab axe ofcillationis, utroque cafu eadem ponitur, efficit diftantiam qua centrum ofcillationis inferius eft centro gravitatis; Ergo etiam hæc distantia utroque cafu eadem erit. Velut fi, facta suspensione ex L, fuerit dicta diftantia EY, erit ipfa æqualis EG; & tota YL æqualis G F ; adeoque,in fufpenfione utraque, idem pendulum fimplex ifochronum fit magnitudini A B C D.

Sa

PROPOSITIO XIX.

magnitudo eadem, nunc brevius nunc longius fufpen fa, agitetur; erunt, ficut diftantia axium ofcillationis à centro gravitatis inter fe, ita contraria ratione diftantia centrorum ofcillationis ab eodem gravitatis centro.

Sit magnitudo, cujus centrum gravitatis A, fufpenfa primum atque agitata ab axe in в, deinde vero ab axe in c; fitque in prima

fufpenfione centrum oscillationis D, in pofteriori vero centrum DE CENTRO ofcillationis E. Dico effe ut B Aad CA ita E A ad D A.

OSCILLA-
TIONIS.

Quum enim, in fufpenfione ex B, efficiatur distantia A D, qua nempe centrum ofcillationis inferius eft centro gravitatis, applicando ad distantiam B A fpatium quoddam,cujus multiplex secundum numerum particularum minimarum æqualium, in quas magnitudo divifa intelligitur, æquatur quadratis diftantiarum ab axe per A,parallelo axi in B*; erit proinde rectangulum B A D dicto spa- * Prop. prætio æquale. Item, in fufpenfione ex c, quum fiat distantia A E, applicando idem dictum fpatium ad diftantiam CA; erit & rectangufum CA E eidem fpatio æquale. Itaque æqualia inter fe rectangula BAD, CAE; ac proinde ratio B A ad c A eadem quæ ▲ ɛ ad A D. quod erat demonstrandum.

В

Hinc patet,dato pendulo fimplici, quod magnitudini fufpenfæ ifochronum fit in una fufpenfione, datoque ejus centro gravitatis; etiam in alia omni fufpenfione, longiori vel breviori, dummodo idem maneat planum ofcillationis,longitudinem penduli ifochroni datam effe.

In figura fuperiori, quia, pofita fufpenfione ex B, centrum ofcillationis eft D; etiam invertendo omnia, ponendoque fufpen

ced.

DE CENTRO fionem ex D, erit tunc centrum ofcillationis B. Hoc enim ex ipfa propofitione præcedenti manifeftum est.

OSCILLA-
TIONIS.

O

PROPOSITIO X X I.

Vomodo in figuris planis centra ofcillationis inve

niantur.

Intellectis quæ hactenus demonstrata funt, facile jam erit in plerifque figuris, quæ in Geometria confiderari confueverunt, definire oscillationis centra. Atque ut de planis figuris primum dicamus; duplicem in iis oscillationis motum fupra definivimus; nempe, vel circa axem in eodem cum figura plano jacentem, vel circa eum qui ad figuræ planum erectus fit. Quorum priorem vocavimus agitationem in planum, alterum agitationem in latus.

க்க

A

A

K+

H

CB

A

H

K+

Quod fi priore modo agitetur, nempe circa axem in eodem plano jacentem, ficut figura B C D circa axem EF; hic, fi cuneus fuper figura intelligatur abfciffus, plano quod ita fecet planum figuræ, ut interfectio, quæ hic eft DD, fit parallela oscillationis axi; deturque diftantia centri gravitatis figuræ ab hac intersectione, ut hic AD; itemque fubcentrica cunei dicti fuper eadem interfectione, quæ hic fit D H. Habebitur centrum ofcillationis K, figuræ BDC, applicando rectangulum DA Had distantiam FA; quoniam ex applicatione hac orietur distantia A K, qua centrum oscillationis inferius eft centro gravitatis. Eft enim rectangulum DAH, multiplex fecundum numerum particularum figuræ B CD, æquale quadratis diftantiarum ab recta в A C, quæ per centrum gravi

OSCILLA

tatis a parallela ducitur axi ofcillationis E *. Quare, applicando DE CENTRO idem rectangulum ad diftantiam F A, orietur diftantia A K, qua TIONIS. centrum ofcillationis inferius eft centro gravitatis A *.

Hinc manifeftum eft, fi axis ofcillationis fit DD, ficri centrum ofcillationis H punctum; adeoque longitudinem DH, penduli fimplicis ifochroni figuræ BCD, effe tunc ipfam fubcentricam cunei, abfciffi plano per DD, fuper ipfam D D. Quod unum ab aliis ante animadverfum fuit, non tamen demonstratum.

Quomodo autem centra gravitatis cuneorum fuper figuris planis inveniantur, perfequi non eft inftituti noftri, & jam in multis nota funt. Velut, quod fi figura B C D fit circulus, erit D H æqualis diametri. Si rectangulum, erit DH » diametri. Vnde & ratio apparet cur virga, feu linea gravitate prædita, altero capite fufpenfa, ifochrona fit pendulo longitudinis fubfefquialtera. Confiderando nempe lineam ejufmodi, ac fi effet rectangulum minimæ latitudinis.

Quod fi figura triangulum fuerit, vertice furfum converso, fit DH diametri. Si deorfum, diametri.

Quod autem propofitione 16 demonftratum fuit, id ad hujusmodi figuræ planæ motum ita pertinere fciendum.Nempe,fi aliam atque aliam pofitionem demus figuræ B CD, invertendo eam circa axem B AC, ut vel horizonti parallela jaceat, vel oblique inclinetur, manente eodem agitationis axe F E, etiam longitudo penduli ifochroni F K eadem manebit. Hoc enim ex propofitione illa manifeftum eft.

Porro quando figura plana, circa axem ad planum figuræ ere&tum, agitatur; quam vocavimus agitationem in latus; velut fi figura B C D moveatur circa axem, qui per punctum F intelligitur ad planum D B C erectus; hic jam præter cuncum fuper figura, qui abfcinditur plano ducto per DD, tangentem figuram in puncto fummo, alter quoque confiderandus cuncus, qui abfcinditur plano per B D, tangentem figuram in latere, quæque tangenti D D fit ad rectos angulos. Oportetque dari, præter figuræ centrum gravitatis A, fubcentricamque H D cunei prioris, etiam fubcentricam L B cunei pofterioris. Ita enim nota erunt rectangula D A H, BAL, quæ fimul fumpta faciunt hic fpatium applicandum, quod deinceps etiam Rectangulum ofcillationis vocabitur. Quod nempe, applicatum ad distantiam F A, dabit distantiam a K, qua centrum A ofcillationis K inferius eft centro gravitatis A.

Si vero F A fit axis figuræ B C D, poteft, pro cuneo abscisso per

* Prop.10.huj. * Prop.18.huj.