A

A

GRAVIUM.

temporis partibus cadendo è quiete peracta, quorum primum ▲ DE DESCENSU B; fecundum compofitum ex B D, quod celeritate æquabili acquifita per a в tranfeundum erat, & ex D E ipfi A в æquali; tertium compofitum, ex E F, duplo ipfius B D, & ex F G, eidem a в æquali; quartum compofitum ex G н, triplo ipfius в D3 & ex H K ipfi itidem A в æquali, atque eadem ratione porro crescentia, fi plura fuerint. Dico totidem æqualibus temporibus cadem fpatia KG, GE, E B, B A, fingula fingulis peragenda effe à gravi furfum tendente, atque incipiente cum celeritate in fine defcenfus acquifita.

A

B

D

E

F

H

K

Brevitatis autem gratia celeritas quæque defignetur deinceps longitudine fpatii quod grave motu æquabili, cum celeritate illa, atque temporis parte una, quales in descenfu confideravimus, tranfmiffurum effet.

Itaque ex oftenfis dicta propofitione, cum in K grave pervenerit, habet celeritatem G H auctam celeritate B D, hoc eft celeritatem к F, quia K F æquatur ipfis H G, BD, funt enim partes fingulæ H K, F G, æquales ipfi A в, ac proinde utraque fimul ipfi в D, quam esse duplam à â oftendimus propofitione 2. Itaque celeritatem in fine defcenfus K acquifitam furfum convertendo, fi grave æquabili motu ferretur, conficeret una temporis parte fpatium K F. Atqui, gravitatis actione accedente, diminuetur afcenfus K F fpatio F G ipfi A в æquali, ut patet ex dictis ad hypothefin initio fumptam. Ergo parte prima temporis afcendet grave tantum per K G, quo eodem fpatio parte temporis noviffima defcenderat. Simul vero & celeritati tantum deceffiffe neceffe eft, quantum acquiritur temporis parte una deorfum cadendo, hoc eft celeritatem B D. Itaque grave, ubi ad & ascenderit, habet celeritatem reliquam HG, cum initio afcenfus habuerit celeritatem H G una cum celeritate B D. Eft autem ipfi HG æqualis G D; quum æquetur ipfi F E una cum D B, hoc eft una cum dupla A B, hoc eft una cum duabus F G & ED; Ergo fi ex G, cum celeritate æquabili, quantam illic habet, furfum pergeret, conficeret una parte temporis fpatium G D. Accedente autem gravitatis actione, diminuetur afcenfus ifte fpatio D E, ipfi A в æquali. Ergo, hac fecunda parte temporis, afcendet per fpatium G E, quod simili temporis parte etiam cadendo tranfierat. Simul autem celeritati tantum deceffiffe denuo debet quantum temporis parte una ex cafu acquiritur, nempe celeritas B D. Itaque ubiufque ad

G

GRAVIUM.

DE DESCENSU E ascenderit, habet duntaxat celeritatem F E, quæ nimirum relinquitur quum à celeritate G D aufertur celeritas B D. Nam B D, ut jam diximus, æqualis eft duabus d e, f G.

B

B

Eft autem ipfi F E æqualis E A, quum F E æquetur ipfi в D bis fumptæ, hoc eft ipfi в D'una cum dupla A B, hoc eft una cum duabus AB, D E. Ergo fi ex E cum celeritate æquabili, quantam illic habet, furfum pergeret, confecturum effet una temporis parte fpatium E A. Sed accedente actione gravitatis, diminuetur afcenfus ifte ipfo fpatio A B. Proinde hac parte temporis per fpatium ɛ в tantum afcendet, quod fimili parte temporis defcendendo quoque tranfierat. Hic vero rurfus celeritati tantum deceffiffe necesse eft quantum una temporis parte cadendo deorfum acquiritur, hoc eft celeritatem B D. Itaque grave, ubi ufque ad в afcenderit, habet celeritatem ipfam B D reliquam, cum in E habuerit celeritatem F E ipfius B D duplam. Si ergo ex в cum celeritate æquabili, quantam illic habet, furfum pergeret, confecturum esset parte una temporis fpatium æquale ipfi D B, hoc eft duplum a B. Sed accedente gravitatis actione, diminuitur afcenfus ifte fpatio quod ipfi A в æquale fit. Igitur hac parte temporis afcendet tantummodo per fpatium в A, quod etiam primo defcenfus tempore tranfierat. Atque in fine quidem extremi temporis hujus necessario grave in a puncto reperietur. Sed dicetur forfan altius ascendiffe quam ad A, atque inde eo relapfum effe. At hoc abfurdum effet, cum non poffit, motu à gravitate profecto, altius quam unde decidit afcendere. Porro quum celeritati quam in в‍habebat rurfus decefferit celeritas B D, patet jam gravi in a conftituto nullam celeritatem fupereffe, ac proinde non altius excurfurum. Itaque oftenfum eft ad eandem unde decidit altitudinem perveniffe, & fingula fpatia, quæ æqualibus defcenfus temporibus transmiferat, eadem totidem afcenfus temporibus remenfum effe : sed & æqualibus temporibus æqualia ipfi deceffiffe celeritatis momenta apparuit. Ergo conftat propofitum.

A

Quia vero in demonftratione propofitionis fecundæ, ex qua pendet præcedens, adfumptum fuit certam quandam esse proportionem fpatiorum quæ continuis æqualibus temporibus à gravi cadente tranfeuntur, quæque eadem fit, quæcunque æqualia tempora accipiantur; quod quidem & ex rei natura ita se‍habere neceffe eft, & fi negetur, fatendum fruftra proportionem iftorum fpatiorum inveftigari. Tamen, quia propofitum etiam abfque hoc demonftrari poteft, Galilei methodum fequendo,

GRAVIUM

operæ pretium erit demonftrationem, ab illo minus perfecte tra- DE DESCENS ditam, hic accuratius confcribere. itaque rurfum hic demonftrabimus,

S

PROPOSITIO V.

Patium peractum certo tempore, à gravi è quiete cafum inchoante, dimidium effe ejus fpatii quod pari tempore tranfiret motu aquabili, cum celeritate quam acquifivit ultimo cafus momento.

Sit tempus defcenfus totius A H, quo tempore mobile peregerit fpatium quoddam cujus quantitas defignetur plano P. ducta

que H L perpendiculari ad A H, longitudinis cujuflibet, referat illa celeritatem in fine casus acquifitam. Deinde completo rectangulo A H L M, intelligatur eo notari quantitas fpatii quod percurreretur tempore A н, cum celeritate HL. Oftendendum est igitur planum è dimidium effe rectanguli м н, hoc eft, ducta diagonali A L, æquale triangulo A H L.

Si planum p non eft æquale triangulo A H L, ergo aut minus co erit, aut majus. Sit primo, fi fieri poteft, planum p minus triangulo a H L. dividatur autem a H in tot partes æquales AC, CE, E G &c. ut, circumfcriptâ triangulo A H L figurâ è rectangulis quorum altitudo fingulis divifionum ipfius A н partibus æquetur, ut funt rectangula BC, DE, FG, alterâque eidem triangulo infcriptâ, ex rectangulis ejufdem altitudinis, ut funt K E, OG &C. ut, inquam, exceffus illius figuræ fupra hanc, minor fit exceffu

GRAVIUM.

DE DESCENSU trianguli A H L fupra planum P. hoc enim fieri poffe perfpicuum eft, cum totus exceffus figuræ circumfcriptæ fuper infcriptam æquetur rectangulo infimo, basin habenti H L. Erit itaque omnino exceffus ipfius trianguli A H L fupra figuram infcriptam minor quam fupra planum P, ac proinde figura triangulo infcripta major plano P. Porro autem, quum recta A H tempus totius defcenfus referat, ejus partes æquales A C, CE, EG, æquales temporis illius partes referent. Cumque celeritates mobilis cadentis crefcant ea*Prop.1. huj. dem proportione qua tempora defcenfus *; fitque celeritas in fine totius temporis acquifita H L;erit ea, quæ in fine primæ partis temporis A c acquiretur, C K; quia ut A Had A C, ita H Lad c K. Similiter quæ in fine partis temporis fecundæ C E acquiritur, erit E o, atque ita deinceps. Patet autem, tempore primo a c, spatium aliquod à mobili tranfmiffum effe, quod majus fit nihilo; tempore vero fecundo c E transmissum effe fpatium quod majus fit quam K E, quia fpatium K E tranfmiffum fuiffet tempore c E, motu æquabili, cum celeritate c K. habent enim spatia, motu æquabili tranfacta, rationem compofitam ex ratione temporum, & ratione velocitatum, ideoque cum tempore A н, celeritate æquabili H L percurri pofuerimus fpatium M н, fequitur tempore CE, cum celeritate с K, percurri fpatium к E, quum ratio rectanguli м н ad rectangulum к E componatur ex rationibus a H ad c E, & H L ad E O.

Quum ergo, ut dixi, fpatium K E fit illud quod tranfmitteretur tempore c E, cum celeritate æquabili CK, mobile autem feratur tempore c E motu accelerato, qui jam principio hujus temporis habet celeritatem cK; manifeftum eft ifto accelerato motu, tempore c E, majus spatium quam K E confecturum. Eadem ratione, tempore tertio E G, majus fpatium conficiet quam o G, quia nempe hoc confecturum effet tempore eodem EG, cum celeritate æquabili E o. Atque ita deinceps, fingulis temporis A H partibus, à mobili majora fpatia quam funt rectangula figuræ infcri、 ptæ, ipsis partibus adjacentia, peragentur. Quare totum fpatium motu accelerato peractum majus erit ipfa figura infcripta. Spatium vero illud æquale pofitum fuit plano P. Itaque figura infcripta minor erit fpatio P. quod eft abfurdum; eodem enim spatio major ostensa fuit. Non eft igitur planum P minus triangulo A H L. At neque majus effe oftendetur.

Sit enim, fi poteft; & dividatur A н in partes æquales, atque ad earum altitudinem, infcripta circunfcriptaque rurfus,

GRAVIUM.

ut ante, fit triangulo A H L figura ex rectangulis, ita ut altera al- DE DESCENSU teram excedat minori exceffu quam quo planum P fuperat trian. gulum A H L, erit igitur neceffario figura circumfcripta minor plano P. Conftat jam, prima temporis parte a c, minus fpatium à mobili transmitti quam fit в é, quia hoc percurreretur eodem tempore A c cum celeritate æquabili c K, quam demum in fine temporis A c mobile adeptum eft. Similiter fecunda parte temporis CE, minus fpatium motu accelerato tranfmittetur quam fit D E, quia hoc percurreretur eodem tempore c E, cum celeritate æquabili E o, quam demum in fine temporis c E mobile assequitur. Atque ita deinceps, fingulis partibus temporis A‍H, minora fpatia à mobili trajicientur quam funt rectangula figuræ circumfcriptæ, ipfis partibus adjacentia. Quare totum fpatium motu accelerato peractum, minus erit ipfa figura circumfcripta. Spatium vero illud æquale pofitum fuit plano P; ergo planum P minus quoque erit figura circumfcripta. quod est abfurdum, cum figura hæc plano P minor oftenfa fuerit. Ergo planum è non majus eft triangulo A H L, fed nec minus effe jam oftenfum fuit. ErHL, go æquale fit neceffe eft; quod erat demonftrandum.

Et hæc quidem omnia quæ hactenus demonftrata funt, gravibus per plana inclinata defcendentibus atque afcendentibus æque ac perpendiculariter motis convenire fciendum eft: cum, quæ de effectu gravitatis pofita fuerunt, eadem ratione utrobique fint admittenda.

Hinc vero non difficile jam erit demonftrare propofitionem fequentem quam concedi fibi, ut quodammodo per fe manifestam, Galileus poftulavit. nam demonftratio illa quam postea adferre conatus eft, quæque in pofteriori operum ejus editione extat, parum firma meo quidem judicio videtur. Eft autem propofitio hujufmodi.

PROPOSITIO V I.

Ciomibus & frendendo fequifita, quales funt, fe plano

Eleritates gravium, fuper diverfis planorum inclina

rum elevationes fuerint aquales.

Elevationem plani vocamus altitudinem ejus fecundum perpendiculum.

Sunto itaque plana inclinata, quorum fectiones facte plano ad horizontem erecto, AB, CB; quorumque elevationes AE, CD