Traité élémentaire de la théorie des fonctions et du calcul infinitésimal, Volum 2

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L. Hachette, 1857 - 533 pàgines
 

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Pàgina 502 - ... monodrome quand on tourne autour du point z = — i ; elle sera donc développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de z. dans le cercle décrit de l'origine comme centre, avec un rayon égal à l'unité.
Pàgina 483 - En continuant ainsi de proche en proche, on voit que les deux chemins OBM, OCM, conduisent à la même valeur de la fonction en M. Il résulte de ce qui précède , que deux courbes quelconques allant du point O au point M, et telles, que l'on puisse, par déformations successives, transformer l'une dans l'autre sans passer par le point A , conduisent à la même valeur de la fonction au point M.
Pàgina 481 - Cauchy, et nous les expliquons par des exemples. Nous étudions ensuite les propriétés des fonctions définies par des séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes de la variable. Ceci nous permet d'établir, d'une manière nette et précise, les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une fonction se développe en série convergente suivant les puissances entières et croissantes de la variable. Nous faisons disparaître ainsi les nuages qui obscurcissaient encore...
Pàgina 513 - Lorsqu'une fonction monodrome et monogène a une infinité d'infinis placés en ligne droite et à égale distance, et une infinité de zéros placés aussi sur une ligne droite parallèle à la précédente et à même distance, cette fonction est simplement périodique. Car on peut former une fonction simplement périodique ayant les infinis et les zéros donnés, et, d'après le théorème V (chapitre IV, livre 1), la fonction proposée sera égale à cette fonction périodique multipliée par...
Pàgina 484 - ... classer les chemins qui vont de l'origine à un point quelconque M du plan en deux catégories : ceux qui se ramènent au chemin rectiligne sans passer par le point A , et ceux qui ne peuvent s'y ramener qu'en passant une fois par le point A; les premiers conduisent à la même valeur de la fonction au point M, les autres donnent une autre valeur à la fonction. Nous avons vu qu'une circonférence décrite autour du point A change la valeur de la fonction. Un second tour reproduira la valeur...
Pàgina 502 - ... cercle , en une série convergente ordonnée suivant les puissances croissantes de z. Dès que l'on sort du cercle, la série est divergente, car la fonction devient infinie au point A. De même, si d'un point...
Pàgina 512 - Jonction définie par une équation algébrique irréductible du m''"" degré prend m valeurs pour chaque valeur de la variable. On part de la valeur z = z0 avec une certaine valeur initiale M = «O, et l'on suit, 'pour aller à un point quelconque du plan, soit le chemin rectiligne, soit des lignes comprenant un ou plusieurs points pour lesquels l'équation a des racines égales. Ces chemins donneront m valeurs différentes de la fonction; car, si la fonction n'en prenait qu'un nombre moindre, elle...
Pàgina 484 - OM, ou à ce chemin rectiligne précédé de l2un des contours élémentaires ou d'une combinaison de ces contours ; appelons z la valeur de l'intégrale rectiligne OM. Tous les chemins qui se ramènent au chemin rectiligne, sans passer par l'un des points...
Pàgina 487 - Les deux surfaces X et Y ne sont convexes en aucune de leurs parties ; car leurs indicatrices aux points correspondants se projettent sur le plan horizontal suivant des hyperboles équilatères égales, dont chacune a pour axes les asymptotes de l'autre. 8. Les conditions (i) pour qu'une fonction soit monogène sont susceptibles d'une autre interprétation géométrique qui a été remarquée par M.
Pàgina 513 - C'est ici le lieu de dire quelques mots des propriétés générales des fonctions simplement périodiques. Il est évident qu'une fonction simplement périodique, monodrome et monogène, devient infinie au moins une fois dans l'intervalle de chaque période, sans quoi la fonction ne deviendrait pas infinie dans toute l'étendue du plan. Cette fonction doit aussi devenir nulle et passer par toutes les valeurs possibles. La plus simple des fonctions doublement périodiques est 27ГГ2 la fonction...

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